يقوم علماء الرياضيات بفك شفرة فئة من المعادلات البسيطة ولكن المستعصية

في القرن الثالث قبل الميلاد ، طرح أرخميدس لغزًا حول تربية الماشية كان يعتقد أنه لا يمكن حله سوى شخص حكيم حقًا. تم تلخيص مشكلته في النهاية إلى معادلة تتضمن الفرق بين حدين تربيعين ، والذي يمكن كتابته على النحو x 2 - dy 2 = 1. هنا ، d هو عدد صحيح - رقم موجب أو سالب - وكان أرخميدس يبحث عن حلول حيث تكون x و y عددًا صحيحًا أيضًا.

هذه الفئة من المعادلات ، التي تسمى معادلات بيل ، قد أذهلت علماء الرياضيات لآلاف السنين.

بعد بضعة قرون من أرخميدس ، قدم عالم الرياضيات الهندي براهماغوبتا ، وبعد ذلك عالم الرياضيات بهاسكارا الثاني ، خوارزميات لإيجاد حلول صحيحة لهذه المعادلات. في منتصف القرن السابع عشر ، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات (الذي لم يكن على دراية بهذا العمل) أنه في بعض الحالات ، حتى عندما تم تعيين قيمة صغيرة نسبيًا لـ d ، فإن أصغر الحلول الصحيحة الممكنة لـ < قد تكون em> x و y ضخمة. عندما أرسل سلسلة من مسائل التحدي لعلماء رياضيات منافسين ، قاموا بتضمين المعادلة x 2 - 61 y 2 = 1 ، التي تتكون أصغر حلولها من تسعة أو 10 أرقام. (بالنسبة إلى أرخميدس ، فإن اللغز الخاص به يتطلب أساسًا حلولاً صحيحة للمعادلة x 2 - 4،729،494 y 2 = 1. "لطباعة الحل الأصغر ، يستغرق الأمر 50 صفحة ،" قال بيتر كويمانز ، عالم الرياضيات في جامعة ميشيغان: "بطريقة ما ، إنه قزم أرخميدس عملاق.")

لكن يمكن أن تقدم حلول معادلات بيل أكثر من ذلك بكثير. على سبيل المثال ، لنفترض أنك تريد تقريب $ latex \ sqrt {2} $ ، وهو رقم غير نسبي ، مثل نسبة الأعداد الصحيحة. اتضح أن حل معادلة بيل x 2 - 2 y 2 = 1 يمكن أن يساعدك في القيام بذلك: $ latex \ sqrt {2} $ (أو بشكل عام ، $ يمكن تقريب اللاتكس \ sqrt {d} $) جيدًا عن طريق إعادة كتابة الحل كجزء من الشكل x / y .

ولعل الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أن هذه الحلول تخبرك أيضًا بأنظمة أرقام معينة ، والتي يسميها علماء الرياضيات الحلقات. في مثل هذا النظام الرقمي ، يمكن لعلماء الرياضيات إلحاق $ latex \ sqrt {2} $ للأعداد الصحيحة. للحلقات خصائص معينة ، ويريد علماء الرياضيات فهم تلك الخصائص. اتضح أن معادلة بيل يمكن أن تساعدهم في فعل ذلك.

وهكذا ، قال عالم الرياضيات في جامعة هارفارد ، مارك شوسترمان ، "درس الكثير من علماء الرياضيات المشهورين - جميع علماء الرياضيات تقريبًا في فترة زمنية معينة - هذه المعادلة بالفعل بسبب بساطتها". ومن بين هؤلاء الرياضيين فيرما ، ويولر ، ولاجرانج وديريتشليت. (جون بيل ، ليس كثيرًا ؛ تمت تسمية المعادلة بالخطأ باسمه).

الآن أثبت كل من Koymans و Carlo Pagano ، عالم الرياضيات في جامعة كونكورديا في مونتريال ، تخمينًا عمره عقود مرتبط بمعادلة بيل ، والتي تحدد عدد المرات التي يكون فيها شكل معين من المعادلة له حلول كاملة. للقيام بذلك ، استوردوا أفكارًا من مجال آخر - نظرية المجموعة - بينما اكتسبوا في الوقت نفسه فهمًا أفضل لموضوع دراسي رئيسي ولكنه غامض في هذا المجال. قال أندرو جرانفيل ، عالم الرياضيات في جامعة مونتريال: "لقد استخدموا بعض الأفكار العميقة والجميلة حقًا". "لقد فعلوا ذلك حقًا."

في أوائل التسعينيات ، اعتمد بيتر ستيفنهاغن ، عالم الرياضيات في جامعة لايدن في هولندا ، على بعض الروابط التي لاحظها بين معادلات بيل ونظرية المجموعة لتخمين عدد المرات التي تحتوي فيها هذه المعادلات على حلول صحيحة. لكنه قال "لم أكن أتوقع أن يتم إثبات ذلك في أي وقت قريب" - أو حتى في حياته. لا تبدو التقنيات المتاحة قوية بما يكفي لمعالجة المشكلة.

يعتمد تخمينه على ميزة معينة في الحلقات. في حلقة الأرقام حيث ، على سبيل المثال ، تمت إضافة $ latex \ sqrt {-5} $ إلى الأعداد الصحيحة (غالبًا ما يعمل علماء الرياضيات بأرقام "وهمية" مثل $ latex \ sqrt {-5} $) ، هناك طريقتان لتقسيم رقم إلى عوامله الأولية. الرقم 6 ، على سبيل المثال ، يمكن كتابته ليس فقط كـ 2 × 3 ، ولكن أيضًا كـ (1 + $ latex \ sqrt {-5} $) × (1 - $ latex \ sqrt {-5} $). نتيجة لذلك ، في هذه الحلقة ، ينهار العامل الأولي الفريد - وهو مبدأ مركزي للحساب ، يعتبر عمليا أمرا مفروغا منه في الأعداد الصحيحة العادية. مدى حدوث ذلك يتم ترميزه في كائن مرتبط بهذه الحلقة ، يسمى فئة ...