تورس (2010)

جذوع جون بايز 27 ديسمبر 2009

عندما تقرأ عن "العناصر الأساسية" لأول مرة ، فمن المؤكد أنها تبدو متطورة للغاية من أجل مصلحتها. هذا في الأساس لأن لا أحد يشرحها جيدًا. لذا ، أريد أن أقنعكم أنها في الواقع بسيطة للغاية وطبيعية. سأفعل ذلك بإعطائك ثلاثة أمثلة من الفيزياء: في ميكانيكا نيوتن ، يمكننا فقط قياس اختلافات الطاقة ، وليس الطاقات نفسها. والسبب هو أنه يمكننا إضافة أي رقم حقيقي لتعريفنا للطاقة دون تغيير أي شيء في الفيزياء. هذا يعني أنه ليس من المنطقي أن نسأل عن ماهية طاقة النظام - لا يمكننا الإجابة على هذا السؤال إلا بعد اختيار بعض الاصطلاحات العشوائية حول ما يمكن اعتباره "صفر طاقة". الأمر الأكثر منطقية هو التحدث عن الاختلاف بين طاقة نظام في حالة ما وطاقة ذلك النظام في حالة أخرى.

يمكننا التعبير عن هذا من حيث العناصر الأساسية على النحو التالي: تكمن اختلافات الطاقة في مجموعة الأرقام الحقيقية R ، لكن الطاقات نفسها لا تفعل ذلك: فهي تكمن في "R-torsor".

في الكهرومغناطيسية ، يمكننا فقط قياس اختلافات الجهد ، وليس الفولتية نفسها. والسبب هو أنه يمكننا إضافة أي رقم حقيقي لتعريفنا للجهد الكهرومغناطيسي دون تغيير أي شيء في الفيزياء. في العمل العملي مع الدوائر الكهربائية ، نقول عادةً أن الجهد الكهرومغناطيسي للأرض يساوي صفرًا. لكنه اختيار تعسفي.

يمكننا التعبير عن هذا من حيث الالتواءات على النحو التالي: تكمن فروق الجهد في مجموعة الأعداد الحقيقية R ، لكن الفولتية نفسها لا: فهي تكمن في "R-torsor".

في ميكانيكا الكم ، يمكننا فقط قياس الأطوار النسبية ، وليس المراحل نفسها. والسبب هو أنه يمكننا ضرب مرحلة الحالة الكمية بأي عدد مركب من الوحدات دون تغيير أي شيء في الفيزياء. لذلك ليس من المنطقي أن نسأل ما هي مرحلة الحالة الكمومية - لا يمكننا الإجابة على هذا السؤال إلا بعد اختيار اصطلاح تعسفي. الأمر الأكثر منطقية هو التحدث عن مرحلة نسبية بين حالتين تختلفان في مرحلة واحدة فقط.

يمكننا التعبير عن هذا من حيث العناصر الأساسية على النحو التالي: تكمن الأطوار النسبية في مجموعة الأعداد المركبة للوحدات ، والتي تسمى U (1) ، لكن المراحل نفسها لا تفعل ذلك: فهي تقع في "U (1) torsor ".

ترتبط هذه الأمثلة الثلاثة ارتباطًا وثيقًا. بادئ ذي بدء ، فإن طاقة الجسيم المشحون في حالة السكون تساوي شحنته مضروبة في جهده - لذا فإن حقيقة أنه يمكننا إضافة أي رقم حقيقي لتعريفنا للجهد دون تغيير الفيزياء ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالحقيقة المماثلة للطاقة . ثانيًا ، في ميكانيكا الكم ، ستشهد حالتان تختلف طاقتهما عن E تغيرًا في exp (-iEt) في طورهما النسبي بعد مرور الوقت المنقضي.

يعتقد الناس أحيانًا أن شيئًا ما هو جذع ، لكنهم يدركون لاحقًا أنه ليس كذلك! كما أوضح لي فيليب دوريل ، اعتاد الناس على الاعتقاد بأنه لا يمكن قياس سوى الاختلافات في درجة الحرارة - لكنهم اكتشفوا بعد ذلك الصفر المطلق. بمجرد أن نختار وحدات درجة الحرارة ، فإن درجات الحرارة هي عناصر من R-torsor. عندما تم اكتشاف الصفر المطلق ، تبين أن هذا R-torsor هو R نفسه.

ولكن الآن يجب أن تكون فضوليًا جدًا لمعرفة ما هو الموروث في الواقع!

بالنسبة لأي مجموعة G يمكننا تحديد مفهوم "G-torsor". بادئ ذي بدء ، فإن G-torsor هي مجموعة X مجهزة بـ "إجراء" من G. لنفترض أننا نكتب عملية المجموعة كضرب ونكتب عنصر الهوية على النحو التالي: ثم يتيح لنا إجراء G على X مضاعفة أي عنصر g من G وأي عنصر x من X للحصول على عنصر gx لـ X ، بحيث تكون البديهيات التالية صحيحة:

1x = x

و

(g1 g2) x = g1 (g2 x).

الإجراءات الجماعية هي عشرة سنتات. إن الخصوصية التي تجعل عملًا جماعيًا عبارة عن torsor هي كما يلي: لأي عنصرين x1 و x2 من torsor لدينا ، يوجد عنصر مجموعة فريد g مع

g x1 = x2.

هذا يعني أنه بالنسبة إلى أي عنصرين من عنصر الجذب ، يمكننا التحدث عن "النسبة" الخاصة بهم. نسبتهم ، x2 / x1 ، هي عنصر المجموعة الفريد g الذي تحمل المعادلة أعلاه. بمعنى آخر:

(x2 / x1) x1 = x2.

(تعد كتابة عملية المجموعة كضرب أمرًا جيدًا لمثال المراحل في ميكانيكا الكم: المرحلة النسبية هي في الواقع نسبة من الأطوار. ولكن يمكن أيضًا كتابة عملية المجموعة باعتبارها هذا الترميز أكثر ملاءمة للطاقات في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يتم حساب فرق الطاقة عن طريق الطرح.)

إذن هنا هو الاختلاف بين المجموعة والتأليف. سأقولها بلغة مضافة ، فقط لتغيير السرعة. في...